部落部落俱樂部第一期的活動正如火如荼的展開，這個月的主題是「推坑」，在思考許久要介紹什麼之後，我決定要來和大家推坑我最喜歡的一件事情——數學。
等等，先別急著滑走啊！
我想要推坑的數學，並不是想讓大家像國高中生那樣讀書考試，更不可能要大家都捧著一本原文書開始嗑，我想做的，是讓大家都能夠感受到數學的美好，可以了解並懂得欣賞這門學問。在學生時期，因為大家被強迫灌輸一些「數學」知識，還要用分數來做評量，又常常怎麼讀都讀不懂，這肯定讓許多人都非常抗拒數學吧，但如果只是要欣賞數學的美好，其實是非常容易的，所以在這篇文章，我想要直接給你幾個實際我覺得很有趣的例子，藉此帶大家開始欣賞數學的美，一起成為 Mathology 的教友！
（P.S. Mathology 這個詞是我從美國的影集 Young Sheldon 偷來的，劇中有一幕是一位熱愛科學的天才小孩在和大家（其實也就只有一位觀眾）像傳教士那樣在佈道，講述「質數」的美好，看到那幕之後因為我實在是太喜歡了，所以一直記到現在。）
拉姆齊定理
首先，來介紹一個圖論裡有趣的定理——拉姆齊定理，它是這麼樣描述的：在一個派對裡隨便挑六個人，一定有三個人互相認識，或是三個人互相不認識。（這邊為了簡單起見，我們先暫時把兩個人的關係只假設成要嘛互相認識，要嘛互相不認識，不考慮那種半生不熟的。）
如果我們把每一個人都畫成一個頂點，並把兩個互相認識的人連紅色的邊，不認識的就連藍色的，比如說像下圖這樣：
那拉姆齊定理就是在說，不管你顏色是怎麼連的，一定會出現紅色的三角形（代表三個人互相認識），或者是藍色的三角形（代表三個人互相不認識）。
你找到了嗎？
從這個定理一個自然推廣的問題，就是隨便給兩個正整數 $a,b$，那我一場派對最少要有幾個人，才能保證他們一定會有 $a$ 個人互相認識，或是 $b$ 個人互相不認識。以圖的想法來看，就是問說我最少需要幾個點，才能使得無論我怎麼對邊著色，都一定有 $a$ 個點彼此互連紅邊，或是 $b$ 個點彼此互連藍邊。
以剛剛的例子來說，要保證有三個人互相認識，或是三個人互相不認識，最少需要六個人才行，五個就辦不到了，就像下面這張只有五個點的圖，裡面沒有紅色跟藍色的三角形。
再來舉一個例子，假設我現在想要有三個人互相認識，或是四個人互相不認識，最少需要幾個人呢？正確答案是九個。這代表你一定可以從下面這張圖中（這也是我隨便畫的），找到一個紅色三角形，或是一個四個點彼此連藍色邊的圖形。
這同時也代表，你可以對八個點的圖找到一種連邊法，讓它既沒有紅色三角形，也沒有彼此互連的藍色四邊形。自己試著畫畫看吧！
數學家把像這樣子最少的人數稱叫做拉姆齊數，並記作 $R(a,b)$，所以以上面的例子來說，我們有 $R(3,3) = 6$ 和 $R(3,4) = 9$。只可惜，目前數學家對任意的拉姆齊數了解非常少，數學家保羅・艾狄胥（Paul Erdős）是這樣比喻的：
假設現在有超高科技外星人來到地球，並要求人類找出 $R(5,5)$，否則就要毀滅地球，那我們應該集中世界上所有電腦和數學家來嘗試找出這個數字，但如果外星人要求我們找出 $R(6,6)$，那我們可能得嘗試攻打外星人。
尺規作圖
再來一個跟畫圖有關的事情，大家在國中時期一定都學過尺規作圖吧（這裡應該沒有國小生讀者⋯⋯吧），如果你已經忘記了，我來幫你回憶一下，尺規作圖的目標，就是想要只用直尺（沒有刻度的）和圓規，來畫出一些常見的幾何圖形，比如說我們都學過如何用尺規作圖來畫出一個直角 $90^\circ$：先畫一條直線，然後在直線上選兩個點當成圓心畫圓，並讓它們交在兩個點，然後將那兩個點連起來，就會和一開始的直線交出一個直角了。
所以一個有趣的問題是：怎麼樣的圖可以用尺規作圖作出來？
這個問題，老早在古希臘時期的數學家就已經開始好奇了，它們被稱爲古希臘三大難題。
- 化圓為方：假設我有一個半徑為一單位的圓形（所以面積是 $\pi$），能不能畫出一個跟它面積一樣的正方形？（換句話說，我能不能畫出邊長為 $\sqrt{\pi}$ 的正方形？）
- 倍立方問題：假設我有一個體積為一單位的立方體，能不能將它的體積加倍，畫出一個體積為二的立方體？（換句話說，我能不能畫出邊長為 $\sqrt[3]{2}$ 的立方體？）
- 三等分任意角：隨便給我一個角度，我是否總是有辦法將它分成三等分？
我們先停下來仔細想一下，關於這種「能不能」的問題，我們到底要怎麼知道答案是圈還是叉？因為要是我們怎麼畫都畫不出來，怎麼知道是自己太笨，還是事實就是真的辦不到？（而上面這三個問題的答案就都是：辦不到。）
另外還有另一個有趣的尺規作圖問題：有哪些正多邊形可以被作出來？
首先，因為我們可以畫出正三角形的內角 $60^\circ$，所以它可以用尺規作圖作出來，同樣的，因為我們可以畫出 $90^\circ$，所以正方形也可以，但是如果是任何一種多邊形呢？
一個有名的例子，就是高斯證明了正 $17$ 邊形可以被尺規作圖，而事實上，所有可以被尺規作圖的正多邊形都已經被找出來了，它們和所謂的「費馬質數」有關。
（P.S. 這個網站的信箱：timo65537@protonmail.com 裡面的數字 $65537$ 是一個費馬質數，這可以推得正 $65537$ 邊形可以被尺規作圖作出來，很難想像對吧！）
同餘數
最後，我們來看一個也是流傳千年的，一個（看似是）小學生等級的問題：什麼樣的正整數，會是一個邊長為分數的直角三角形的面積？數學家們把像這樣子的數字稱叫做同餘數。
如果現在要你喊出一個會構成直角三角形邊長的三個數字，大家第一個直覺反應大概都是：$(3,4,5)$！沒有錯，這也就代表這個直角三角形的面積——$3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6$ 會是一個同餘數。那比較進階一點的可能會再加碼喊：$(5,12,13)$！這就代表它們構成的面積 $5 \times 12 \times \frac{1}{2} = 30$ 也會是一個同餘數。
的確，要舉一些同餘數的例子是蠻容易的，但是如果我是問某個指定的數字是不是同餘數呢？那可就沒這麼容易了，比方說 $5$ 好了，如果現在要找一個面積為 $5$ 的直角三角形，而且邊長還要是分數，大概還需要湊一下數字吧，而事實上，它會是一個同餘數，這個直角三角形的邊長為 $(\frac{20}{3}, \frac{3}{2}, \frac{41}{6})$。但是如果我問的是 $1$ 呢？那很遺憾，不管你怎麼湊都是湊不出來的，因為它根本就不是個同餘數（這是由史上最強斜槓人——費馬所證出來的）。
不知道你有沒有感覺到這個問題的困難點了，和上面尺規作圖的情形一樣，如果我想判斷一個數字是不是同餘數，卻怎麼找也找不到相對應的直角三角形，那是我太笨了，還是它本來就不是呢？尤其你再來看看下面這個式子：
$$ \left( \frac{6803298487826435051217540}{411340519227716149383203} \right)^2 + \left( \frac{411340519227716149383203}{21666555693714761309610} \right)^2 = \left( \frac{224403517704336969924557513090674863160948472041}{8912332268928859588025535178967163570016480830} \right)^2 $$
而且這三個數字構成的直角三角形面積是 $157$，這就代表 $157$ 也是一個同餘數，而且甚至啊，這個是你能找到最「小」的分數，讓它們構成一個面積是 $157$ 的直角三角形。這個例子也就說明了，就算面積還沒有要求到很大，邊長也可以長得很醜，所以胡亂湊數字大概是不切實際的。
說到底，數學家想問的問題是，到底有沒有一個很容易，可以判斷一個數字是不是同餘數的方法呢？很遺憾，數學家對這個問題並沒有答案，目前我們只知道，想要完全了解這些數，必須奠基在一個懸賞百萬美元的世紀數學難題——BSD 猜想（號稱世界上最難賺到的一百萬美元之一）。
為什麼我在乎？
看到這邊，可能有許多人會有疑問，為什麼人類要在乎怎麼用尺規作圖作正多邊形？又或者為什麼要在乎一個數字是不是直角三角形的面積？但這就像 Veritasium 在這部影片的結尾提到的一樣：
Why should you do math if you don’t know that it will lead anywhere? Because doing the math is the only way to know for sure. […] We might solve it and it might not mean anything to anyone, or it could turn out to be remarkably helpful. The only way to know for sure is to try.
「如果不知道鑽研數學會帶來什麼結果，為什麼還要去做？因為唯有真的動手了，才是得到答案的唯一方式。[⋯⋯] 我們或許能解開難題，而結果可能毫無意義，也可能出乎意料地有幫助。唯有真的去嘗試了，才能知道答案。」
就像人類也是到了 20 世紀才發現，我們可以利用數論來奠基密碼學的基礎（目前大家常用的一套加密手法，甚至和隱藏在同餘數背後的數學理論息息相關！），或是利用黎曼幾何來發展廣義相對論，在真的研究出這些知識、並「實際」利用到它們以前，又有誰有資格說數學（或是其他學科）沒用呢？
講得更直接一點，我想對那些口口聲聲說「學數學有什麼用」的頑固份子說：「會問這個問題，那你可能沒有聰明到會用。」